Đường Conic

25/11/2022 | Mai Đức Thạch | 1868 xem

Điểm và vectơ

Trong hệ tọa độ Đê các hai chiều, một điểm A có tọa độ x_A, y_A được ký hiệu A(x_A;y_A), tức là từ điểm A chiếu xuống trục Ox nó có hoành độ x_A, chiếu xuống trục Oy nó có tung độ y_A.

Tọa độ của vectơ AB là xAB;yAB được ký hiệu là $\overrightarrow{AB}=\left ( x_{AB};y_{AB} \right )$ là tọa độ của điểm B khi đã chuyển gốc tọa độ đến A và các trục AA₁, AA₂ có phương và hướng như hệ tọa độ Oxy.

Ta có A(x_A;y_A) và B(x_B;y_B). Khi đó:

$\overrightarrow{AB}=\left ( x_{AB};y_{AB} \right )=\left ( x_B-x_A;y_B-y_A \right )$ và $AB=\sqrt{x_{AB}^{2}+y_{AB}^{2}}=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}$

Cho $\overrightarrow{AB}=\left ( x_{AB};y_{AB} \right )$ và $\overrightarrow{CD}=\left ( x_{CD};y_{CD} \right )$ :

• Tổng của hai vectơ:

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(x_{AB}+x_{CD};y_{AB}+y_{CD})$

• Tích vô hướng của hai vectơ:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=x_{AB}.x_{CD}+y_{AB}.y_{CD}=AB.CD.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$

Đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng Phương trình đường thẳng:

Yêu cầu: Viết phương trình đường thẳng ∆ khi biết M(x₀;y₀) nằm trên ∆ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B)$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b)$ .

Cho M(x;y) là một điểm di động trên ∆.

• Phương trình tổng quát:

Ta có: $\overrightarrow{MM_{0}}=(x-x_0;y-y_0)$ và $\overrightarrow{n}=(A;B)$ . Ta có $\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{MM_{0}}$ nên ta có $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{MM_{0}}=0$

$\Rightarrow A.(x-x_0)+B.(y-y_0)=0$ . Khi đó ta có:

A.x + B.y + C = 0 với C = – A.xo – B.yo

• Phương trình tham số:

Ta có $\overrightarrow{MM_0}$ và $\overrightarrow{u}$ cùng phương nên ta có $\overrightarrow{MM_0}=t.\overrightarrow{u}$ với t thuộc R.

$\left\{\begin{matrix} x-x_0=t.a \\ y-y_0=t.b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x_0+t.a \\ y=y_0+t.b \end{matrix}\right.$

• Phương trình chính tắc:

Từ phương trình tham số của ∆ ta có:

$\left\{\begin{matrix} x=x_0+t.a \\ y=y_0+t.b \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=\frac{x-x_0}{a} \\ t=\frac{y-y_0}{b} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$

• Phương trình tọa độ cực:

Phương trình tọa độ cực của đường thẳng Ta có α là góc giữa đường thẳng Δ và trục Ox; r là khoảng cách góc từ một điểm M bất kỳ trên đường thẳng đến gốc tọa độ; θ là góc giữa MO và trục Ox; p là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng.

Khi M di chuyển trên Δ thì góc θ và độ dài r thay đổi. Ta cần tìm mối quan hệ giữa chúng.

Trong ΔOMH vuông tại H có OH = p; OM = r; $\widehat{HOM}=\widehat{HOy}+\widehat{yOM}=(90^o-\widehat{yOH})+(90^o-\widehat{MOx})=90^o-(\theta -\alpha )$

Ta có: $\cos \widehat{HOM}=\frac{OH}{OM}$ nên:

r = p.csc(θ – α)

Ngoài ra chúng ta thường gặp một số dạng khác của phương trình đường thẳng:

Phương trình đường thẳng cắt 2 trục tọa độ

Một số bài toán liên quan đến đường thẳng

Góc giữa 2 đường thẳng ● Góc giữa hai đường thẳng (Δ₁): A₁.x + B₁.y + C₁ = 0 và (Δ₂): A₂.x + B₂.y + C₂ = 0

Ta có vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng trên lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}=(A_1;B_1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(A_2;B_2)$ .

Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng Δ₁và Δ₂là góc giữa hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ .

Khi đó:

$\cos \varphi =\left | \cos(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}) \right |=\frac{\left | \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2} \right |}{ \left | \overrightarrow{n_1} \right |.\left | \overrightarrow{n_2} \right | }$

Do đó:

$\cos \varphi =\frac{\left | A_1.A_2+B_1_.B_2 \right |}{ \sqrt{A_1^2+B_1^2}.\sqrt{A_2^2+B_2^2} }$

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ● Khoảng cách tử một điểm đến một đường thẳng:

Cho đường thẳng Δ: A.x + B.y + C = 0 và điểm M(x_o;y_o). H là hình chiếu của M xuống Δ. Ta có: d(M, Δ) = MH.

Đường thẳng Δ có $\overrightarrow{n}=(A;B)$ nó là vectơ chỉ phương của đường thẳng MH. Do đó, ta có phương trình đường thẳng MH là:

$\left\{\begin{matrix} x=x_0+t.A \\ y=y_0+t.B \end{matrix}\right.$

Gọi (x₁;y₁) là tọa độ của H, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_1=x_0+t_1.A \\ y_1=y_0+t_1.B \\ A.x_1+B.y_1+C=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1-x_0=t_1.A \\ y_1-y_0=t_1.B \\ t_1=-\frac{A.x_0+B.y_0+C}{A^2+B^2} \end{matrix}\right.$

Ta lại có: $MH=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}=\sqrt{(A.t_1)^2+(B.t_1)^2}=\left | t_1 \right |.\sqrt{A^2+B^2}$

Như vậy:

$d(M,\Delta )= \frac{ \left | A.x_0+B.y_0+C \right |}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Đường phân giác giữa 2 đường thẳng ● Phương trình đường phân giác của hai đường thẳng (Δ1): A1.x + B1.y + C1 = 0 và (Δ2): A2.x + B2.y + C2 = 0.

Ta cho điểm M(x,y) là một điểm nằm trên đường phân giác của hai đường thẳng trên.

Ta có: d(M, Δ₁) = d(M, Δ₂)

Đưa bài toán về dạng tìm quỹ tích điểm M, ta có:

$\frac{ \left | A_1.x_0+B_1.y_0+C_1 \right |}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\pm \frac{ \left | A_2.x_0+B_2.y_0+C_2 \right |}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$

Đó là phương trình đường phân giác trong và ngoài hai đường thẳng đã cho.

Đường tròn

Phương trình đường tròn

Cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R và một điểm M(x;y) di động trên đường tròn. Ta có IM = R.

$\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=R\Leftrightarrow (x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Ở dạng tổng quát, ta có:

x² + y² + 2.A.x + 2.B.y + C = 0 với A² + B² – C >0

là phương trình đường tròn tâm I(-A;-B) bán kính $R=\sqrt{A^2+B^2-C}$ .

Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn (C): x² + y² + 2.a.x + 2.b.y + c = 0 và điểm M(x_o; y_o). Ta có:

P_M/(C) = MO² – R² với O(-a; -b) và $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$ nên:

$P_{M/(C)}=(-a-x_0)^2+(-b-y_0)^2-a^2-b^2+c$

Từ đây, ta có: $P_{M/(C)}=x_0^2+y_0^2+2.a.x_0+2.b.y_0+c=f(x_0;y_0)$

+ Nếu f(x_o;y_o) > 0 : điểm M nằm ngoài đường tròn.

+ Nếu f(x_o;y_o) = 0 : điểm M nằm trên đường tròn.

+ Nếu f(x_o;y_o) < 0 : điểm M nằm trong đường tròn.

Trục đẳng phương của hai đường tròn

Cho hai đường tròn không đồng tâm: (C₁): x2 + y2 + 2.a₁.x + 2.b₁.y + c₁ = 0 và (C₂): x2 + y2 + 2.a₂.x + 2.b₂.y + c₂ = 0

Điểm M(x;y) nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn (C₁) và (C₂), ta có:

P_M/(C1) = P_M/(C2) => x2 + y2 + 2.a1.x + 2.b1.y + c1 = x2 + y2 + 2.a2.x + 2.b2.y + c2

Ta có: 2(a₁ – a₂)x + 2(b₁ – b₂)y + c₁ – c₂= 0

Elip

Định nghĩa: Elip là quỹ tích các điểm mà tổng khoảng cách của chúng đến 2 điểm cố định là không đổi. Đường elip

Trong hình vẽ bên:

A₁A₂ là trục lớn (=2.a)

B₁B₂ là trục nhỏ (=2.b)

F₁F₂là tiêu cự (=2.a.e) với F₁, F₂ là 2 tiêu điểm.

Tâm sai: $e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}<1$

Độ dẹt: $\eta =\frac{a-b}{a}$

Bán trục qua tiêu F₁H = l = a.(1 – e²)

Phương trình đường elip

● Phương trình chính tắc

Ta có F₁(-ae;0) và F₂(ae;0). Cho P(x;y) là một điểm di động trên elip.Sử dụng định nghĩa elip ta có: PF₁ + PF₂ = 2a

$\Rightarrow \sqrt{(x+ae)^2+y^2}=\sqrt{(x-ae)^2+y^2}$ . Rút gọn biểu thức ta được:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $b^2=a^2.(1-e^2)$ và $\eta =1-\sqrt{1-e^2}$

● Phương trình tham số

Phương trình tham số và phương trình tọa độ cực của Elip Ta vẽ đường tròn tâm O, bán kính a. M là hình chiếu của điểm I(x;y) xuống trục Ox. Tia MI cắt đường tròn (O;a) tại I’. Khi đó: x = OM; a = OI’; Đặt góc I’OA₂ là E gọi là khoảng cách góc lệch tâm. Ta có: $OM=OI'.\cos \widehat{I'OM}$ nên x = a.cos E. Thay trở lại phương trình chính tắc ta được y = b.sin E. Từ đó, ta có phương trình tham số của elip:

$\left\{\begin{matrix} x=a.\cos E \\ y=b.\sin E \end{matrix}\right.$

Trong tam giác vuông IF₂M có IF₂ = r; IM = y = b.sin E; F₂M = OM – OF₂= a.cos E – a.e = a.(cos E – e). Ta có:

$IF_{2}^{2}=IM^2+F_2M^2\Leftrightarrow r^2=b^2.sin^2E+a^2.(\cos E-e)$ $=a^2.(1-e^2).(1-\cos^2E)+a^2.(\cos E-e)=a^2.(1-e.\cos E)^2$

Như vậy:

r = a.(1 – e.cos E)

Ta lại có $\widehat{IF_2M}=v$ là khoảng cách góc thật. Ta có: $\cos v=\frac{F_2M}{F_2I}=\frac{\cos E-e}{1-e.\cos E}$

Biến đổi lượng giác thông thường ta cũng có:

$\sin v=\frac{\sqrt{1-e^2}.\sin E}{1-e.\cos E}$ và $\tan v=\frac{\sqrt{1-e^2}.\sin E}{1-\cos E}$ và $\tan \frac{v}{2}=\sqrt{ \frac{1+e}{1-e} }.\tan \frac{E}{2}$

● Phương trình tọa độ cực

Trong phương trình tọa độ cực này, ta chọn chục x nghiêng với trục lớn góc ω. Một điểm P trên elip có vectơ bán kính F₂P = r; nghiêng với trục lớn góc v. Ta đặt θ = ω + v gọi là góc tọa độ cực. Áp dụng công thức cosin cho tam giác phẳng PF₁F₂, ta có:

$F_1P^2=F_1F_2^2+PF_2^2-2.F_1F_2.PF_2.\cos \widehat{PF_2F_1}$

$(2a-r)^2=4.a^2.e^2+r^2-2.2.a.e.r.\cos(180^o-\theta +\omega )$

Như vậy:

$r=\frac{a.(1-e^2)}{1+e.\cos(\theta -\omega )}=\frac{l}{1+e.\cos(\theta -\omega )}$

Tiếp tuyến của elip

● Tìm c để đường thẳng y = mx + c tiếp xúc với elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Ta có hoành độ giao điểm của elip và đường thẳng trên là nghiệm của phương trình:

(a².m² + b²).x² + 2.a².c.m.x + a².(c² – b²) = 0

Để tiếp xúc với elip phương trình trên phải có nghiệm duy nhất khi c² = a².m² + b². Khi đó phương trình tiếp tuyến của elip có dạng: $y=mx\pm \sqrt{a^2.m^2+b^2}$ tương đương với:

m2.(a2 – x2) + 2.m.y + b2 – y2 = 0

Bây giờ tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng trên đồng thời cũng tiếp xúc với elip. Làm tương tự ta cũng có:

m2.(b2 – y2) + 2.m.x + a2 – x2 = 0

Cộng hai phương trình tiếp tuyến trên với nhau ta được:

$m^2.(a^2+b^2-x^2-y^2)+2.m.(x+y)+a^2+b^2-x^2-y^2=0$

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x² + y² = a² + b². Như vậy quỹ tích các điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc vớinh au là một đường tròn bán kính $\sqrt{a^2+b^2}$ .

● Phương trình tiếp tuyến tại một điểm. Ta gọi K(x_o;y_o) là một điểm trên elip mà tiếp tuyến y = mx + c đi qua. Ta có:

$\frac{x.x_o}{a^2}+\frac{y.y_o}{b^2}=1$

Đường chuẩn của elip

Ta có hai đường thẳng $x=\pm \frac{a}{e}$ là những đường chuẩn của elip.Ta có:

PN = P₁N₁ = ON₁ – OP₁ = a/e – a.cos E

PF₂ = a.(1 – e.cos E)

Nên : PF₂/PN = e

Đường kính liên hợp là một đường elip có trục nhỏ và trục lớn không vuông góc với nhau.

Hyperbol

Đường Hyperbol Định nghĩa: Hyperbol là quỹ tích các điểm mà hiệu khoảng cách từ nó đến hai điểm cố định là không thay đổi.

Ta có:

A₁A₂ : là trục thực (=2.a);

B₁B₂ : là trục ảo;

F₁F₂ : là tiêu cự (=2.a.e) với F₁và F₂ là hai tiêu điểm;

Tâm sai: $e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}>1$ ;

F₁H = l = a.(e² – 1) là bán kính qua tiêu;

Hai đường tiệm cận: $y=\pm \frac{bx}{a}$ .

Phương trình Hyperbol

● Phương trình chính tắc: Ta có F₁(-ae;0) và F₂(ae;0). Điểm P(x;y) di động trên Hyperbol. Sử dụng định nghĩa ta có:

$\left | PF_1-PF_2 \right |=2a$

$\Rightarrow \left | \sqrt{(x+ae)^2+y^2}-\sqrt{(x-ae)^2+y^2} \right |=2a$
$\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $b^2=a^2.(e^2-1)$

Ta cũng có phương trình liên hợp của Hyperbol là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$

● Phương trình tham số: Cho đường tròn tâm O bán kính a. Cho I(x;y) là một điểm tùy ý trên Hyperbol và M là hình chiếu của nó xuống trục Ox. Kẻ tiếp tuyến MI’ với đường tròn (O;a). Đặt góc I’OA₂ là E. Ta có OI’ = a; OM = x. Ta có cos E = OI’/OM = a/x nên:
x = a.sec E. Thay x vào phương trình chính tắc ta được: y = b.tan E. Ta có phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x=a.\sec E \\ y=b.\tan E \end{matrix}\right.$

● Phương trình tọa độ cực: ta cũng lấy trục x nghiêng với trục thức góc ω với gốc tại tiêu điểm F₂; v là khoảng cách góc thật. Ta có θ = ω + v là góc tọa độ cực. Sử dụng công thức cosin cho tam giác phẳng F₁IF₂,ta có:

$F_1I^2=F_1F_2^2+IF_2^2-2.F_1F_2.IF_2.\cos \widehat{PF_2F_1}$

$(2a+r)^2=4.a^2.e^2+r^2-2.2.a.e.r.\cos(180^o-\theta +\omega )$

Như vậy:

$r=\frac{a.(e^2-1)}{1-e.\cos(\theta -\omega )}=\frac{l}{1-e.\cos(\theta -\omega )}$

Tiếp tuyến của Hyperbol

Tiến hành tương tự như đối với elip, ta thấy đường thẳng y = mx+ c là tiếp tuyến của Hyperbol khi và chỉ khi $c=\pm \sqrt{ a^2.m^2-b^2 }$ .

Và tiếp tuyến của Hyperbol tại điểm (x₁; y₁) trên Hyperbol có phương trình là $\frac{x.x_o}{a^2}-\frac{y.y_o}{b^2}=1$ . Vòng tròn lớn, nơi mà từ một điểm trên nó có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau có bán kính $\sqrt{a^2-b^2}$ .

Các đường chuẩn của Hyperbol có phương trình $y=\pm a/e$

Parabol

Parabol Định nghĩa: Parabol là quỹ tích các điểm mà khoảng cách từ nó đến một đường thẳng cố định và một điểm cố định là không đổi.

F(q;0) là tiêu điểm;

Đường chuẩn (Δ): x = -q;

Bán trục qua tiêu: FH = l = 2q;

Trục chính OF = q;

Phương trình Parabol:

● Phương trình chính tắc: Từ định nghĩa Parabol ta có: PF = PN nên:

(x – q)² + y ² = (x + q)² tương đương với y² = 4qx

● Phương trình tham số của Parabol:

$\left\{\begin{matrix} x=q.t^2 \\ y=2.q.t \end{matrix}\right.$

● Phương trình tọa độ cực:

Ta lấy trục x nghiêng với trục chính góc ω, vectơ bán kính PF nghiêng với chục chính góc v. Đặt θ = ω + v là góc tọa độ cực. Ta có NP = PF = r; l = 2q = IF; FH = r.cos(θ – ω).
Ta có: NP = IM = IF + FM => r = l + r.cos(θ – ω)

$r=\frac{l}{1-\cos(\theta -\omega )}$

Tiếp tuyến của Parabol: Với các bước tiến hành tương tự như đối với đường elip. Ta có đường thẳng y = mx + c là tiếp tuyến của parabol y² = 4.q.x khi và chỉ khi c = q/m. Quỹ tích tất cả các điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với parabol vuông góc với nhau là đường chuẩn.

Phương trình tiếp tuyến của Parabol tại điểm (x₂; y₂) là: y.y₁ = 2q.(x + x₁)

Tóm lại: tất cả các đường conic đều có phương trình tọa độ cực dạng:

$r=\frac{l}{1-e.\cos(\theta -\omega )}$

Và chúng chỉ khác nhau tâm sai:

$\left\{\begin{matrix} e>1 & hyperbol \\ e=1 & parabol \\ e<1 & elip \end{matrix}\right.$

Đường conic và phương trình đường conic

Khái niệm: Đường conic là hình vẽ được chỉ ra trên mặt phẳng khi nó cắt hoặc tiếp xúc với một hình nón.

Tùy vào góc độ giao nhau giữa mặt phẳng và hình nón mà nó sẽ tạo ra hình vẽ có thể là hình tròn, hình elip, hyperrbol, đường thẳng, điểm…

Để minh họa cho điều này, tìm hiểu một trường hợp là hình elip. Những trường hợp còn lại tiến hành tương tự:

Đề bài: Cho một mặt phẳng cắt nghiêng hình nón với giao tuyến là một vòng K khép kín. Chúng minh hình vẽ K là đường elip.

Mặt cắt hình nón Dựng một hình cầu C₁ tiếp xúc trong với hình nón và tiếp xúc trên với mặt phẳng đã cho tại F₁. Dựng một hình cầu C₂ tiếp xsc trọng với hình nón và tiếp xúc dưới với mặt phẳng đã cho tại F₂. Lấy một điểm P trên đường cong K. Vẽ một đường thẳng đi qua đỉnh hình nón và P cắt hình cầu C₁ tại Q₁ và cắt hình cầu C₂ tại Q₂. Ta có: PF₁ = PQ₁ (do đều là tiếp xúc với C₁) và PF₂ = PQ₂ (do đều tiếp xúc với C₂), do đó: