Công thức lượng giác cho góc

18/10/2020 | Mai Đức Thạch | 6505 xem

Khái niệm chung về công thức lượng giácTrong những phần diễn tả dưới đây, cần đặc biệt lưu ý những trường hợp các góc có số đo là k.90o (với k thuộc Z).

Cho hệ tọa độ Oxy như hình vẽ, một đường tròn (O,1) gọi là đường tròn lượng giác cắt trục Ox tại A(1;0) và A’(-1;0), cắt trục Oy tại B(0;1) và B’(0;-1). Một điểm I(xI;yI) nằm trên đường tròn đó. Đặt góc IOA là α. Ta có:

\sin \alpha =y_{I}=\overline{II_{A}}=\overline{OI_{B}}

\cos \alpha =x_{I}=\overline{II_{B}}=\overline{OI_{A}}

Cho C là giao điểm của đường thẳng qua A song song với trục OI. Ta có:

\tan \alpha =\overline{AC}

\cot \alpha =\overline{BC'}

Ta đặt:

\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha} và \csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha}

Các hệ thức lượng giác cơ bản

– Từ hình vẽ, ta có: \Delta OII_{A} \sim \Delta OCA nên:

CA = OA.\frac{II_{A}}{OI_{A}}. Do đó: \tan \alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. Tương tự: \cot \alpha =\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

– Ta có \Delta OII_{A} vuông tại IA nên OI^{2}=OI_{A}^{2}+II_{A}^{2}=1. Do đó: sin2 α + sin2 α = 1

Sử dụng định nghĩa \sec\alpha và \csc\alpha ở trên, thay vào ta có:

1 + tan2 α = sec2 α
1 + cot2 α = csc2 α
sec α.csc α = tan α + cot α
sec2 α.csc2 α = sec2 α + csc2 α

Hệ thức lượng giác của các cung, góc có liên quan đặc biệt

Cung đối nhau
(β = -α)
Cung bù nhau
(β = 180o– α)
Cung phụ nhau
(β = 90o – α)
Cung hơn kém 180o
(β = 180o + α)
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau Cung hơn kém 180 độ

sin β = -sin α
cos β = cos α
tan β = -tan α
cot β = -cot α

sin β = sin α
cos β = -cos α
tan β = -tan α
cot β = -cot α
sin β = cos α
cos β = sin α
tan β = cot α
cot β = tan α
sin β = -sin α
cos β = -cos α
tan β = tan α
cot β = cot α

Hệ thức lượng giác của hai góc

Công thức cộng

Hệ thức lượng giác của hai gócCho 2 điểm M, N trên đường tròn lượng giác. Đặt \alpha=\widehat{AON} và \beta=\widehat{AOM}. Khi đó, ta có M(cos β; sin β) và N(cos α; sin α).

\Rightarrow \left\{\begin{matrix} OM=(\cos\beta;\sin\beta)\\ ON=(\cos\alpha;\sin\alpha)\\ OM=ON=OA=1\\ \end{matrix}\right.

Theo công thức tọa độ ta có:

\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=\cos\alpha.\cos\beta+\sin\alpha.\sin\beta

Theo công thức tích vô hướng ta có:

\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=OM.ON.\cos\widehat{NOM}=\cos(\alpha-\beta)

Như vậy: cos(α – β) = cos α.cos β  + sin α. sin β

Kết hợp sử dụng công thức trên và những hệ thức lượng giác của các cung và góc đặc biệt, biến đồi ta có:

\sin(\alpha\pm \beta)=\sin\alpha.\cos\beta\pm\cos\alpha.\sin\beta
\cos(\alpha\pm \beta)=\cos\alpha.\cos\beta\mp \sin\alpha.\sin\beta
\tan(\alpha\pm \beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp \tan\alpha.\tan\beta}

Công thức biến đổi tổng thành tích

Sử dụng các công thức đã có ở trên biến đổi thành:

\cos\alpha+\cos\beta=2.\cos\frac{\alpha+\beta}{2}.\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

\cos\alpha-\cos\beta=-2.\sin\frac{\alpha+\beta}{2}.\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

\sin\alpha+\sin\beta=2.\sin\frac{\alpha+\beta}{2}.\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

\sin\alpha-\sin\beta=2.\cos\frac{\alpha+\beta}{2}.\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

Công thức biến đổi tích thành tổng

\sin\alpha.\sin\beta=-\frac{1}{2}.\left [ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta) \right ]

\cos\alpha.\cos\beta=\frac{1}{2}.\left [ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) \right ]

\sin\alpha.\cos\beta=-\frac{1}{2}.\left [ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) \right ]

Công thức tan

Đặt \tan\alpha=T và \tan\frac{\alpha}{2}=t ta có:

\sin\alpha=\frac{T}{\sqrt{1+T^2}}=\frac{2.t}{1+t^2}

\cos\alpha=\frac{T}{\sqrt{1-T^2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}

\tan\alpha=T=\frac{2.t}{1-t^2}

Công thức khai triển

\sin\alpha=\alpha-\frac{\alpha^3}{3!}+\frac{\alpha^5}{5!}-...=\frac{e^{i.\alpha}-e^{-i.\alpha}}{2.i}

\cos\alpha=1-\frac{\alpha^2}{2!}+\frac{\alpha^4}{4!}-...=\frac{e^{i.\alpha}+e^{-i.\alpha}}{2}

Công thức hạ bậc và nâng bậc

\cos^2\alpha=\frac{1}{2}[\cos(2.\alpha)+1]

\sin^2\alpha=\frac{1}{2}[1-\cos(2.\alpha)]

Trên đây là những công thức lượng giác cho hai góc bất kỳ (lưu ý trong trường hợp k.90o), khi áp dụng vào tam giác phẳng và tam giác cầu ta có các công thức lượng giác tiếp theo.