Chuyển động biểu kiến của hành tinh

18/06/2019 | Mai Đức Thạch | 263 xem

Quỹ đạo và chu kỳ giao hội của hành tinh

Vị trí đối lập, giao hội và vuông góc

Trong phần này, để dễ hiểu, ta giả sử các hành tinh quay quanh Mặt Trời trên các quỹ đạo tròn và đồng phẳng (trên thực tế các hành tinh quay xung quanh Mặt Trời trong các quỹ đạo hình elip với độ nghiêng quỹ đạo nhỏ). Ta chia các hành tinh ra làm 2 nhóm: Những hành tinh gần Mặt Trời hơn Trái Đất (Thủy Tinh, Kim Tinh) gọi là những hành tinh phía trong; còn các hành tinh còn lại xa Mặt Trời hơn Trái Đất (Hỏa Tinh, Mộc Tinh, Thổ Tinh, Thiên Vương Tinh, Hải Vương Tinh) gọi là những hành tinh phía ngoài.

HÀNH TINH PHÍA TRONG HÀNH TINH PHÍA NGOÀI

– Tại vị trí IC, hành tinh giao hội trong với Mặt Trời.

– Tại vị trí SC, hành tinh giao hội ngoài với Mặt Trời.

– Tại SWE, nó có góc ly giác phía Tây lớn nhất đối với Mặt trời.

– Tại GEE, nó có góc ly giác phía Đông lớn nhất đối với Mặt Trời.

– Tại C, hành tinh giao hội với Mặt Trời.

– Tại O, hành tinh đối lập với Mặt Trời, nó khác xích kinh của Mặt Trời 180o, và nó quá cảnh lúc nửa đêm giờ mặt Trời địa phương.

– Tại EQ, hành tinh ở vị trí vuông góc phía Đông với Mặt Trời.

– Tại WQ, hành tinh ở vị trí vuông góc phía Tây với Mặt Trời.

Chu kỳ thiên văn và chu kỳ giao hội

Trong hình vẽ bên, ta biểu diễn Trái Đất (E), một hành tinh trong (P) cùng di chuyển trên quỹ đạo. Trái Đất di chuyển xung quanh Mặt trời với tốc độ góc ωo và chu kỳ To = 2π/ωo. Hành tinh di chuyển xung quanh Mặt Trời với vận tốc nhanh hơn ω và chu kỳ thiên văn của hành tinh  ngắn hơn T = 2π/ω (đó là chu kỳ tương đối so với các ngôi sao cố định). Tốc độ góc của hành tinh so với Trái Đất là ωPE = ω – ωo. Khoảng thời gian hai lần liên tiếp giao hội trong của hành tinh gọi là chu kỳ giao hội. S = 2π/ ωPE. Khi đó:

\frac{1}{S}=\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{o}}    (hành tinh phía trong)

Đối với hành tinh phía ngoài, tương tự chỉ có điều ωPE = ωo – ω. Chu kỳ giao hội là khoảng thời gian 2 lần liên tiếp hành tinh ở vị trí đối lập. khi đó:

\frac{1}{S}=\frac{1}{T_{o}}-\frac{1}{T}     (hành tinh phía ngoài)

Trong tất cả các hành tinh, Hỏa Tinh có chu kỳ giao hội dài nhất 780 ngày, Thủy Tinh có chu kỳ giao hội ngắn nhất 116 ngày. Tất cả các hành tinh phía ngoài có chu kỳ giao hội lớn hơn 1 năm và tất cả các hành tinh phía trong có chu kỳ giao hội  nhỏ hơn 1 năm.

Chuyển động vượt lên – giật lùi – đứng yên của hành tinh

Khái niệm chung

Trong phần dưới đây, ta giả sử Trái Đất và hành tinh di chuyển trên trên các quỹ đạo đường tròn  và đồng phẳng.

Trong hình vẽ bên, cho P, E là vị trí của hành tinh và Trái Đất tại một thời điểm cụ thể. Cho Sϓ hướng từ Mặt Trời tới điểm xuân phân và Eϓ hướng từ Trái Đất tới điểm xuân phân. Các góc  ESϓ và PSϓ là kinh độ nhật tâm của Trái Đất và hành tinh (ký hiệu là L và l) và PEϓ là kinh độ địa tâm của hành tinh (ký hiệu λ). Cho a và b là khoảng cách nhật tâm của Trái Đất và hành tinh và ρ là khoảng cách địa tâm của hành tinh. ta có:

\left\{\begin{matrix} \rho.\sin{\lambda} =b.\sin{l}-a.\sin{L} \\ \rho.\cos{\lambda} =b.\cos{l}-a.\cos{L} \end{matrix}\right.     (1)

Ta thấy ρ, λ, l, L đang thay đổi theo thời gian. Lấy vi phân của cả hai phương trình, ta có:

\left\{\begin{matrix} \rho.\cos{\lambda}.\frac{d\lambda}{dt}+\sin{\lambda}.\frac{d\rho}{dt} =b.\cos{l}.\frac{dl}{dt}-a.\cos{L}.\frac{dL}{dt} \\ \rho.\sin{\lambda}.\frac{d\lambda}{dt}-\cos{\lambda}.\frac{d\rho}{dt} =b.\sin{l}.\frac{dl}{dt}-a.\sin{L}.\frac{dL}{dt} \end{matrix}\right.      (2)

Ở (2), nhân phương trình đầu với ρ.cos λ và phương trình thứ hai với ρ.sin λ rồi tính tổng:

\rho^{2}.\frac{d\lambda }{dt}=b.\rho.\cos{(l-\lambda)}.\frac{dl}{dt}-a.\rho.\cos{(L-\lambda).\frac{dL}{dt}}

Ở (1) , nhân phương trình đầu với sin l và phương trình thứ hai với cos l rồi tính tổng:

\rho.\cos{(l-\lambda)}=b-a.\cos{(L-l)}

Ở (1), nhân phương trình đầu với cos L và phương trình thứ hai với sin L rồi tính tổng:

\rho.\cos{(L-\lambda)}=b.\cos{(L-l)}-a

Từ 3 phương trình trên đây, ta có:

\rho^{2}.\frac{d\lambda }{dt}=(b^{2}-a.b.\cos{(L-l)}).\frac{dl}{dt}+(a^{2}-a.b.\cos{(L-l)}).\frac{dL}{dt}   (3)

Với giả sử quỹ đạo hành tinh là đường tròn, ta có dl/dt là góc chuyển động trung bình n với bán kính b. Ta có:

n2.b3 = G.(M + m)

với M và m là khối lượng của Mặt Trời và hành tinh, G là hằng số hấp dẫn. Do M rất lớn so với m. Đặt GM = μ. Ta có:

n=\frac{dl}{dt}=\mu^{1/2}.b^{-3/2}

Tương tự, ta cũng có:

\frac{dL}{dt}=\mu^{1/2}.a^{-3/2}

Thay 2 phương trình trên trở lại (3) ta có:

\rho^{2}.\frac{d\lambda }{dt}=\mu^{1/2}.[(b^{1/2}+a^{1/2})-(a.b^{1/2}+b.a^{1/2}).\cos{(L-l)}]

Áp dụng công thức cosine cho tam giác phẳng PES: ρ2= a2 + b2 – 2.a.b.cos(L – l).Khi đó:

\rho^{2}.\frac{d\lambda }{dt}=\mu^{1/2}.[(a.b^{-1/2}+b.a^{-1/2}).[\frac{(b^{1/2}+a^{1/2}).a^{1/2}.b^{1/2}}{b^{3/2}+a^{3/2}}-\cos{(L-l)}]

Ta có: (b1/2 + a1/2).a1/2.b1/2 <a3/2 + b3/2 khi a1/2.b1/2<a + b – a1/2.b1/2  <=> (a1/2 – b1/2)2 > 0 luôn đúng. Khi đó, ta đặt:

\cos{\alpha}=\frac{(b^{1/2}+a^{1/2}).a^{1/2}.b^{1/2}}{b^{3/2}+a^{3/2}}       (4)

A=\mu^{1/2}.(a.b^{-1/2}+b.a^{-1/2})

 

 

 

Khi đó:

\rho^{2}.\frac{d\lambda }{dt}=A.[\cos{\alpha}-\cos{(L-l)}]

Từ phương trình trên cho thấy, giá trị dλ/dt phụ thuộc vào L – l. Ta có:

+ Nếu dλ/dt > 0, kinh độ của hành tinh tăng dần, chuyển động địa tâm là tiến lên.

+ Nếu dλ/dt < 0, kinh độ của hành tinh giảm dần, chuyển động địa tâm là giật lùi.

+ Nếu dλ/dt = 0, chuyển động địa tâm là đứng yên. Khi đó cos(L – l) = cos α

Cùng với thời gian, kinh độ địa tâm của hành tinh λ đi từ 0o đến 360o một chu kỳ, chu kỳ giao hội của nó là S ngày. Trong mỗi chu kỳ giao hội, chuyển động địa tâm là lùi α.S/180 ngày, và tiến lên trong (180 – α).S/180 ngày.

Khoảng cách nhật tâm của hành tinh khi đứng yên và giới hạn góc ly giác của nó

Trong hình vẽ trên, ta coi P là vị trí của hành tinh tại thời điểm đứng yên với góc ESP là α. Đặt góc E =SÊP – là góc ly giác của hành tinh tính từ Mặt Trời nhìn từ Trái Đất. Áp dụng công thức sine cho tam giác ESP ta có:

a.sin E = b.sin(E + α)

\Rightarrow \tan{E}=\frac{b.\sin{\alpha}}{a-b.\cos{\alpha}} (trong trường hợp b>a)

Từ (4) với 0o < α <180o, khi đó:

\Rightarrow \sin{\alpha}=\frac{(b-a).(b+a)^{1/2}}{b^{3/2}+a^{3/2}}

Do đó:  

\tan{E}=-\frac{b}{(a.b+a^{2})^{1/2}}     (với 90o < E <180o).

Làm tương tự đối với hành tinh ngoài.

Ta nhớ lại, độ nghiêng và độ lệch tâm của đường hoàng đạo và quỹ đạo  là khá phức tạp, do đó, công thức trên là xấp xỉ đúng.

Điểm đứng yên khi xét đến độ nghiêng

Cho NP nằm trên mặt phẳng quỹ đạo hành tinh đi qua S. Mặt phẳng hoàng đạo được chỉ ra bởi NJ với K là cực của vòng hoàng đạo. Cho NP = ψ; NJ = l; JP = β, vectơ bán kính ρ, góc PNJ là i. Xét tam giác cầu PJN, ta có:

\left\{\begin{matrix} \sin{\psi}.\cos{i}=\cos{\beta}.\sin{l} \\ \cos{\psi}=\cos{\beta}.\cos{l} \end{matrix}\right.