Công thức lượng giác trong tam giác cầu

Cho mặt cầu tâm O bán kính R như hình vẽ.

Đường tròn ABCD được giới hạn bởi giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng đi qua tâm O gọi là một vòng tròn lớn.

Kẻ đường thẳng vuông góc với đường tròn lớn ABCD tại O, cắt mặt cầu tại P và Q. Khi đó, P và Q gọi là các cực của vòng tròn lớn ABCD.

Trên trục PQ lấy điểm O’, mặt phẳng qua O’ song song với mặt phẳng ABCD giao với thiên cầu bởi đường tròn A’B’C’D’. Đường tròn này gọi là vòng tròn nhỏ (tức là những đường tròn giao với mặt cầu có tâm không đi qua tâm của mặt cầu).

Trên mặt phẳng PAQC, vẽ PM là tiếp tuyến của đường tròn PAQC; trên mặt phẳng PB’BQ, vẽ PN là tiếp tuyến của đường tròn PB’BQ. Khi đó, góc cầu BPC (góc tạo bởi hai vòng tròn lớn APCQ và PB’BQ đi qua P) được xác định là góc MPN (hay góc BOC).

Tam giác cầu: là hình được giới hạn bởi 3 cung tròn nằm trên 3 vòng tròn lớn cắt nhau từng đôi một.

Trong một tam giác cầu:

Cạnh của tam giác cầu là những cung tròn lớn. Và do 3 cạnh của nó cùng nằm trên một mặt cầu, nên nó nhận giá trị là số đo của 3 cung tròn đó.

Góc của tam giác cầu là những góc cầu. Một tam giác cầu có 3 góc cầu.

Công thức cosine

Cho tam giác cầu ABC có cạnh , ,  và các góc cầu A, B, C.

Trên mặt phẳng OAC, vẽ AE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính OA với E là gia điểm của tiếp tuyến đó với OC.

Trên mặt phẳng OAB, vẽ AD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính OA với D là gia điểm của tiếp tuyến đó với OB.

Do đó, góc cầu A có số đo bằng góc DAE.

Trong ΔOAD vuông tại A và  . Ta có: AD = OA.tan c và OD =  OA.sec c.

Tương tự cho ΔOAE. Ta có: AE = OA.tan b và OE = OA.sec c.

Sử dụng công thức cosine cho tam giác phẳng ADE:

       DE² = AD² + AE² – 2.AD.AE.cos DAE = OA².(tan²c + tan²b – 2.tan c.tan b.cos A)

Tương tự cho tam giác phẳng DOE:

      DE² = OD² + OE² – 2.OD.OE.cos DO = OA².(sec²c + sec²b – 2.sec c.sec b.cos a)

Từ đây:      tan²c + tan²b – 2.tan c.tan b.cos A  = sec²c + sec²b – 2.sec c.sec b.cos a

Rút gọn lại ta được: cos a = cos b.cos c + sin b.sin c.cos A

Tương tụ ta có:

cos a = cos b.cos c + sin b.sin c.cos A

Công thức sine

Từ công thức cosine trong tam giác cầu:

cos a = cos b.cos c + sin b.sin c.cos A ó sin b.sin c.cos A = cos a – cos b.cos c

Bình phương 2 vế: 

sin²b.sin²c.cos²A = cos²a + cos²b.cos²c – 2.cos a.cos b. cos c

Biến đổi vế trái của biểu thức trên:

sin²b.sin²c.cos²A = sin²b.sin²c.(1 – sin²A) = sin²b.sin²c – sin²b.sin²c.sin²A
= (1 – cos²b).(1 – cos²c) – sin²b.sin²c.sin²A
= 1 – cos²b – cos²c + cos²b.cos²c – sin²b.sin²c.sin²A

Kết hợp với vế phải ta có:

1 – cos²b – cos²c + cos²b.cos²c – sin²b.sin²c.sin²A = cos²a – cos²b.cos²c – cos a.cos b. cos c

Biến đổi đi ta được:

Chứng minh tương tự: sin B/sin b = k và sin C/sin c = k.

Như vậy chúng ta có:

Công thức thứ ba

Từ công thức cosine trong tam giác cầu:

cos b = cos a.cos c + sin a.sin c.cos B

sin a.sin c.cos B = cos b – cos a.cos c

                                = cos b – cos c.(cos b.cos c + sin b.sin c.cos A)

                                = cos b – cos b.cos²c – sin b.sin c.cos c.cos A

                                = cos b – cos b.(1 – sin²c) – sin b.sin c.cos c.cos A

                                = sin²c.cos b – sin b.sin c.cos c.cos A

Như vậy chúng ta có:

sin a.cos B = sin c.cos b – sin b.cos c.cos A

Công thức thứ tư

Từ công thức cosine trong tam giác cầu:

cos b = cos a.cos c + sin a.sin c.cos B

          = cos a.(cos a.cos b + sin a.sin b.cos C) +  sin a.sin c.cos B

          = cos²a.cos b + sin a.cos a.sin b.cos C + sin a.sin c.cos B

          = (1 – sin²a).cos b + sin a.cos a.sin b.cos C + sin a.sin c.cos B

sin²a.cos b = sin a.cos a.sin b.cos C + sin a.sin c.cos B

sin a.cot b = cos a.cos C + sin c.cos B/sin b

Áp dụng công thức sin cho tam giác cầu chúng ta có:

cos a.cos C = sin a.cot b – sin C.cot B